exp

Eksponencijalna funkcija

$e^{x}$

Eksponencijalna funkcija je skoro ravna (sporo se penje) za negativne vrednosti x, a onda brzo raste za pozitivne vrednosti x.

Svojstva

Upotrebom prirodnog logaritma, može se definisati nešto generalnija eksponencijalna funkcija. Funkcija

$\!\,a^{x}=e^{x\ln a}$

definisana za svako a > 0, i za svaki realan broj x se naziva eksponencijalna funkcija za osnovu a.

Primetimo da gornja jednakost važi za a = e, pošto je

$\!\,e^{x\ln e}=e^{x\left(1\right)}=e^{x}.$

Eksponencijalne funkcije „sjedinjuju“ sabiranje i množenje, što se vidi sledećim eksponencijalnim zakonima:

$\!\,a^{0}=1$

$\!\,a^{1}=a$

$\!\,a^{x+y}=a^{x}a^{y}$

$\!\,a^{xy}=\left(a^{x}\right)^{y}$

$\!\,{1 \over a^{x}}=\left({1 \over a}\right)^{x}=a^{-x}$

$\!\,a^{x}b^{x}=(ab)^{x}$

Gornje važi za sve pozitivne realne brojeve a i b, i za sve realne brojeve x i y. Izrazi koji uključuju razlomke i korenovanje često mogu biti uprošćeni korišćenjem eksponencijalne notacije jer:

${1 \over a}=a^{-1}$

i, za svako a > 0, realan broj b, i ceo broj n > 1:

${\sqrt[{n}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{b}=a^{b/n}$

Za svaku realnu konstantu c važi:

$f'(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{ch}-1}{h}}=c$

za $f(x)=e^{ch}$