exp

Експоненцијална функција

$e^{x}$

Експоненцијална функција је скоро равна (споро се пење) за негативне вредности x, а онда брзо расте за позитивне вредности x.

Својства

Употребом природног логаритма, може се дефинисати нешто генералнија експоненцијална функција. Функција

$\!\,a^{x}=e^{x\ln a}$

дефинисана за свако a > 0, и за сваки реалан број x се назива експоненцијална функција за основу a.

Приметимо да горња једнакост важи за a = e, пошто је

$\!\,e^{x\ln e}=e^{x\left(1\right)}=e^{x}.$

Експоненцијалне функције „сједињују“ сабирање и множење, што се види следећим експоненцијалним законима:

$\!\,a^{0}=1$

$\!\,a^{1}=a$

$\!\,a^{x+y}=a^{x}a^{y}$

$\!\,a^{xy}=\left(a^{x}\right)^{y}$

$\!\,{1 \over a^{x}}=\left({1 \over a}\right)^{x}=a^{-x}$

$\!\,a^{x}b^{x}=(ab)^{x}$

Горње важи за све позитивне реалне бројеве a и b, и за све реалне бројеве x и y. Изрази који укључују разломке и кореновање често могу бити упрошћени коришћењем експоненцијалне нотације јер:

${1 \over a}=a^{-1}$

и, за свако a > 0, реалан број b, и цео број n > 1:

${\sqrt[{n}]{a^{b}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{b}=a^{b/n}$

За сваку реалну константу c важи:

$f'(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{ch}-1}{h}}=c$

за $f(x)=e^{ch}$